竞赛数学(竞赛数学填空题)

体育和数学，看似毫不相干，实则有着深刻而微妙的联系。在竞赛数学的世界里，有着大量关于体育的例子，在这里，我想介绍几个有趣的例子。

首先是足球比赛中的进球概率问题。在世界杯等足球比赛中，我们常常关心的一个问题是哪个队员能够打进更多的进球。假设两个队伍比赛，每个队员进球的概率是$p$和$q$，那么哪个队会赢得比赛呢？让我们用数学来分析一下。不难发现，两队比赛中，如果进球数一样，那么比赛就是个平局，如果进球数不同，那么进球多的那一方就会获胜。因此，我们可以考虑计算每个队进球的期望值：一个队进$k$个球的概率是$C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}$，所以这个队进球的期望值就是$\sum_{k=0}^nkC(n,k)p^k(1-p)^{n-k}$，同理，另一个队进球的期望值为$\sum_{k=0}^nkC(m,k)q^k(1-q)^{m-k}$。这两个期望值之差就是进球多的那个队伍的获胜概率了。

其次是田径运动中的计时问题。在跑步比赛中，我们经常听到运动员向裁判喊道：”刚刚裁判的记录错了！我明明跑得更快“。那么，对于计时器精度有限的情况下，如何才能尽可能地减少由此导致的计时误差呢？让我们再一次用数学来思考这个问题。假设某位选手的真实成绩为$t$秒，设计时器误差为$\delta$秒，则裁判记录的成绩为$t+\delta$秒。为了尽可能减少误差，我们可以考虑多次计时，计算平均值来消除时机误差。设我们进行$n$次计时，裁判记录的成绩为$t_1+\delta_1,\ldots,t_n+\delta_n$，则选手的实际成绩可以估计为$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(t_i+\delta_i)$，这个估计的成绩与真实成绩的误差为$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\delta_i$。因此，我们可以通过增加计时次数$n$，来尽可能减少由于计时误差带来的误差。

最后是篮球比赛中的投篮问题。在篮球比赛中，进攻方需要在规定时间内射门打篮球，而投篮成功率就显得尤为重要了。我们可以使用排列组合的方法来分析这个问题。假设球队有$t$秒的进攻时间，每个球员在$t$秒内可以射$n$个球，并且每个球的射门成功率为$p$，则球队可以以$k$个球进入篮筐获胜的概率为$C(nk,k)p^k(1-p)^{nk-k}$。因此，进攻方最后获胜的概率为，$\sum_{k=0}^\infty C(nk,k)p^k(1-p)^{nk-k}$。

以上就是竞赛数学与体育的三个例子，虽然看起来差距很大，却在精细和深刻的数学分析中凝聚出共同的元素，体育正是得益于这些数学思维的发展而在竞技中不断进步。